浅谈Python数学建模之固定费用问题

编辑: admin 分类: python 发布时间: 2021-12-23 来源:互联网

一、固定费用问题案例解析

1.1、固定费用问题（Fixed cost problem）

固定费用问题，是指求解生产成本最小问题时，总成本包括固定成本和变动成本，而选择不同生产方式会有不同的固定成本，因此总成本与选择的生产方式有关。

固定费用问题，实际上是互斥的目标函数问题，对于不同的生产方式具有多个互斥的目标函数，但只有一个起作用。固定费用问题不能用一般的线性规划模型求解。

一般地，设有 m 种生产方式可供选择，采用第 j 种方式时的固定成本为 \(K_j\)、变动成本为 \(c_j\)、产量为 \(x_j\)，则采用各种生产方式的总成本分别为：

该类问题的建模方法，为了构造统一的目标函数，可以引入 m 个 0-1 变量 y_j 表示是否采用第 j 种生产方式：

于是可以构造新的目标函数和约束条件：

M 是一个充分大的常数。

1.2、案例问题描述

例题 1：

某服装厂可以生产 A、B、C 三种服装，生产不同种类服装需要租用不同设备，设备租金、生产成本、销售价格等指标如下表所示。

服装种类设备租金材料成本销售价格人工工时设备工时设备可用工时单位（元）（元/件）（元/件）（小时/件）（小时/件）（小时） A 5000 280 400 5 3 300 B 2000 30 40 1 0.5 300 C 2000 200 300 4 2 300

如果各类服装的市场需求都足够大，服装厂每月可用人工时为 2000h，那么应该如何安排生产计划使利润最大？

1.3、建模过程分析

首先要理解生产某种服装就会发生设备租金，租金只与是否生产该产品有关，而与生产数量无关，这就是固定成本。因此本题属于固定费用问题。

有些同学下意识地认为是从 3 种产品中选择一种，但题目中并没有限定必须或只能生产一种产品，因此决策结果可以是都不生产、选择 1 种或 2 种产品、3 种都生产。

决策结果会是什么都不生产吗？有可能的。

每种产品的利润：（销售价格 - 材料成本）× 生产数量 - 设备租金

本题中如果设备租金很高，决策结果就可能是什么都不做时利润最大，这是利润为 0，至少不亏。

现在可以用固定费用问题的数学模型来描述问题了：

1.4、PuLP 求解固定费用问题的编程

编程求解建立的数学模型，用标准模型的优化算法对模型求解，得到优化结果。

模型求解的编程步骤与之前的线性规划、整数规划问题并没有什么区别，这就是 PuLP工具包的优势。

（0）导入 PuLP库函数

import pulp

（1）定义一个规划问题

FixedCostP1 = pulp.LpProblem("Fixed_cost_problem", sense=pulp.LpMaximize)  # 定义问题，求最大值

pulp.LpProblem 用来定义问题的构造函数。"FixedCostP1"是用户定义的问题名。
参数 sense 指定问题求目标函数的最小值/最大值。本例求最大值，选择 “pulp.LpMaximize” 。

（2）定义决策变量

x1 = pulp.LpVariable('A', cat='Binary')  # 定义 x1，0-1变量，是否生产 A 产品
x2 = pulp.LpVariable('B', cat='Binary')  # 定义 x2，0-1变量，是否生产 B 产品
x3 = pulp.LpVariable('C', cat='Binary')  # 定义 x3，0-1变量，是否生产 C 产品
y1 = pulp.LpVariable('yieldA', lowBound=0, upBound=100, cat='Integer')  # 定义 y1，整型变量
y2 = pulp.LpVariable('yieldB', lowBound=0, upBound=600, cat='Integer')  # 定义 y2，整型变量
y3 = pulp.LpVariable('youCans', lowBound=0, upBound=150, cat='Integer')  # 定义 y3，整型变量

pulp.LpVariable 用来定义决策变量的函数。参数 cat 用来设定变量类型，' Binary ' 表示0/1变量（用于0/1规划问题），' Integer ' 表示整数变量。'lowBound'、'upBound' 分别表示变量取值范围的下限和上限。

（3）添加目标函数

FixedCostP1 += pulp.lpSum(-5000*x1-2000*x2-2000*x3+120*y1+10*y2+100*y3)  # 设置目标函数 f(x)

（4）添加约束条件

FixedCostP1 += (5*y1 + y2 + 4*y3 <= 2000)  # 不等式约束
FixedCostP1 += (3*y1 - 300*x1 <= 0)  # 不等式约束
FixedCostP1 += (0.5*y2 - 300*x2 <= 0)  # 不等式约束
FixedCostP1 += (2*y3 - 300*x3 <= 0)  # 不等式约束

添加约束条件使用 "问题名 += 约束条件表达式" 格式。
约束条件可以是等式约束或不等式约束，不等式约束可以是小于等于或大于等于，分别使用关键字">="、"<="和"=="。

（5）求解

FixedCostP1.solve()

solve() 是求解函数，可以对求解器、求解精度进行设置。

1.5、Python 例程：固定费用问题

import pulp      # 导入 pulp 库

# 主程序
def main():
    # 固定费用问题(Fixed cost problem)
    print("固定费用问题(Fixed cost problem)")
    # 问题建模：
    """
        决策变量：
            y(i) = 0, 不生产第 i 种产品
            y(i) = 1, 生产第 i 种产品            
            x(i), 生产第 i 种产品的数量, i>=0 整数
            i=1,2,3
        目标函数：
            min profit = 120x1 + 10x2+ 100x3 - 5000y1 - 2000y2 - 2000y3
        约束条件：
            5x1 + x2 + 4x3 <= 2000
            3x1 <= 300y1
            0.5x2 <= 300y2
            2x3 <= 300y3
        变量取值范围：Youcans XUPT
            0<=x1<=100, 0<=x2<=600, 0<=x3<=150, 整数变量
            y1, y2 ,y3 为 0/1 变量 
    """
    # 1. 固定费用问题(Fixed cost problem), 使用 PuLP 工具包求解
    # (1) 建立优化问题 FixedCostP1: 求最大值(LpMaximize)
    FixedCostP1 = pulp.LpProblem("Fixed_cost_problem_1", sense=pulp.LpMaximize)  # 定义问题，求最大值
    # (2) 建立变量
    x1 = pulp.LpVariable('A', cat='Binary')  # 定义 x1，0-1变量，是否生产 A 产品
    x2 = pulp.LpVariable('B', cat='Binary')  # 定义 x2，0-1变量，是否生产 B 产品
    x3 = pulp.LpVariable('C', cat='Binary')  # 定义 x3，0-1变量，是否生产 C 产品
    y1 = pulp.LpVariable('yieldA', lowBound=0, upBound=100, cat='Integer')  # 定义 y1，整型变量
    y2 = pulp.LpVariable('yieldB', lowBound=0, upBound=600, cat='Integer')  # 定义 y2，整型变量
    y3 = pulp.LpVariable('yieldC', lowBound=0, upBound=150, cat='Integer')  # 定义 y3，整型变量
    # (3) 设置目标函数
    FixedCostP1 += pulp.lpSum(-5000*x1-2000*x2-2000*x3+120*y1+10*y2+100*y3)  # 设置目标函数 f(x)
    # (4) 设置约束条件
    FixedCostP1 += (5*y1 + y2 + 4*y3 <= 2000)  # 不等式约束
    FixedCostP1 += (3*y1 - 300*x1 <= 0)  # 不等式约束
    FixedCostP1 += (0.5*y2 - 300*x2 <= 0)  # 不等式约束
    FixedCostP1 += (2*y3 - 300*x3 <= 0)  # 不等式约束
    # (5) 求解 youcans
    FixedCostP1.solve()
    # (6) 打印结果
    print(FixedCostP1.name)
    if pulp.LpStatus[FixedCostP1.status] == "Optimal":  # 获得最优解
        for v in FixedCostP1.variables():  # youcans
            print(v.name, "=", v.varValue)  # 输出每个变量的最优值
        print("Youcans F(x) = ", pulp.value(FixedCostP1.objective))  # 输出最优解的目标函数值
    return

if __name__ == '__main__':  # Copyright 2021 YouCans, XUPT
    main()

1.6、Python 例程运行结果

Welcome to the CBC MILP Solver

Version: 2.9.0

Build Date: Feb 12 2015

Result - Optimal solution found

Fixed_cost_problem_1

A = 1.0

B = 1.0

C = 1.0

yieldA = 100.0

yieldB = 600.0

yieldC = 150.0

Max F(x) = 24000.0

从固定费用问题模型的求解结果可知，A、B、C 三种服装都生产，产量分别为 A/100、B/600、C/150 时获得最大利润为：24000。

二、PuLP 求解规划问题的快捷方法

2.1、PuLP 求解固定费用问题的编程

通过从线性规划、整数规划、0-1规划到上例中的混合0-1规划问题，我们已经充分体会到 PuLP 使用相同的步骤和参数处理不同问题所带来的便利。

但是，如果问题非常复杂，例如变量数量很多，约束条件复杂，逐个定义变量、逐项编写目标函数与约束条件的表达式，不仅显得重复冗长，不方便修改对变量和参数的定义，而且在输入过程中容易发生错误。因此，我们希望用字典、列表、循环等快捷方法来进行变量定义、目标函数和约束条件设置。

PuLP 提供了快捷建模的编程方案，下面我们仍以上节中的固定费用问题为例进行介绍。本例中的问题、条件和参数都与上节完全相同，以便读者进行对照比较快捷方法的具体内容。

（0）导入 PuLP 库函数

import pulp

（1）定义一个规划问题

FixedCostP2 = pulp.LpProblem("Fixed_cost_problem", sense=pulp.LpMaximize)  # 定义问题，求最大值

（2）定义决策变量

types = ['A', 'B', 'C']  # 定义产品种类
status = pulp.LpVariable.dicts("生产决策", types, cat='Binary')  # 定义 0/1 变量，是否生产该产品
yields = pulp.LpVariable.dicts("生产数量", types, lowBound=0, upBound=600, cat='Integer')  # 定义整型变量

本例中的快捷方法使用列表 types 定义 0/1 变量 status 和整型变量 yields，不论产品的品种有多少，都只有以上几句，从而使程序大为简化。

（3）添加目标函数

fixedCost = {'A':5000, 'B':2000, 'C':2000}  # 各产品的 固定费用
unitProfit = {'A':120, 'B':10, 'C':100}  # 各产品的 单位利润
FixedCostP2 += pulp.lpSum([(yields[i]*unitProfit[i]- status[i]*fixedCost[i]) for i in types])

虽然看起来本例中定义目标函数的程序语句较长，但由于使用字典定义参数、使用 for 循环定义目标函数，因此程序更加清晰、简明、便于修改参数、不容易输入错误。

（4）添加约束条件

humanHours = {'A':5, 'B':1, 'C':4}  # 各产品的 单位人工工时
machineHours = {'A':3.0, 'B':0.5, 'C':2.0}  # 各产品的 单位设备工时
maxHours = {'A':300, 'B':300, 'C':300}  # 各产品的 最大设备工时
FixedCostP2 += pulp.lpSum([humanHours[i] * yields[i] for i in types]) <= 2000  # 不等式约束
for i in types:
    FixedCostP2 += (yields[i]*machineHours[i] - status[i]*maxHours[i] <= 0)  # 不等式约束

快捷方法对于约束条件的定义与对目标函数的定义相似，使用字典定义参数，使用循环定义约束条件，使程序简单、结构清楚。

注意本例使用了两种不同的循环表达方式：语句内使用 for 循环遍历列表实现所有变量的线性组合，标准的 for 循环结构实现多组具有相似结构的约束条件。读者可以对照数学模型及上例的例程，理解这两种定义约束条件的快捷方法。

（5）求解和结果的输出

# (5) 求解
FixedCostP2.solve()
# (6) 打印结果
print(FixedCostP2.name)
temple = "品种 %(type)s 的决策是：%(status)s，生产数量为：%(yields)d"
if pulp.LpStatus[FixedCostP2.status] == "Optimal":  # 获得最优解
    for i in types:
        output = {'type': i,
                    'status': '同意' if status[i].varValue else '否决',
                    'yields': yields[i].varValue}
        print(temple % output) # youcans@qq.com
    print("最大利润 = ", pulp.value(FixedCostP2.objective))  # 输出最优解的目标函数值

由于快捷方法使用列表或字典定义变量，对求解的优化结果也便于实现结构化的输出。

2.2、Python 例程：PuLP 快捷方法

import pulp      # 导入 pulp 库


# 主程序
def main():
    # 2. 问题同上，PuLP 快捷方法示例
    # (1) 建立优化问题 FixedCostP2: 求最大值(LpMaximize)
    FixedCostP2 = pulp.LpProblem("Fixed_cost_problem_2", sense=pulp.LpMaximize)  # 定义问题，求最大值
    # (2) 建立变量
    types = ['A', 'B', 'C']  # 定义产品种类
    status = pulp.LpVariable.dicts("生产决策", types, cat='Binary')  # 定义 0/1 变量，是否生产该产品
    yields = pulp.LpVariable.dicts("生产数量", types, lowBound=0, upBound=600, cat='Integer')  # 定义整型变量
    # (3) 设置目标函数
    fixedCost = {'A':5000, 'B':2000, 'C':2000}  # 各产品的 固定费用
    unitProfit = {'A':120, 'B':10, 'C':100}  # 各产品的 单位利润
    FixedCostP2 += pulp.lpSum([(yields[i]*unitProfit[i]- status[i]*fixedCost[i]) for i in types])
    # (4) 设置约束条件
    humanHours = {'A':5, 'B':1, 'C':4}  # 各产品的 单位人工工时
    machineHours = {'A':3.0, 'B':0.5, 'C':2.0}  # 各产品的 单位设备工时
    maxHours = {'A':300, 'B':300, 'C':300}  # 各产品的 最大设备工时
    FixedCostP2 += pulp.lpSum([humanHours[i] * yields[i] for i in types]) <= 2000  # 不等式约束
    for i in types:
        FixedCostP2 += (yields[i]*machineHours[i] - status[i]*maxHours[i] <= 0)  # 不等式约束
    # (5) 求解 youcans
    FixedCostP2.solve()
    # (6) 打印结果
    print(FixedCostP2.name)
    temple = "品种 %(type)s 的决策是：%(status)s，生产数量为：%(yields)d"
    if pulp.LpStatus[FixedCostP2.status] == "Optimal":  # 获得最优解
        for i in types:
            output = {'type': i,
                      'status': '同意' if status[i].varValue else '否决',
                      'yields': yields[i].varValue}
            print(temple % output)
        print("最大利润 = ", pulp.value(FixedCostP2.objective))  # 输出最优解的目标函数值

    return

if __name__ == '__main__':  # Copyright 2021 YouCans, XUPT
    main()

2.3、Python 例程运行结果

Welcome to the CBC MILP Solver

Version: 2.9.0

Build Date: Feb 12 2015

Result - Optimal solution found

Fixed_cost_problem_2

品种 A 的决策是：同意，生产数量为：100

品种 B 的决策是：同意，生产数量为：600

品种 C 的决策是：同意，生产数量为：150

最大利润 = 24000.0

本例的问题、条件和参数都与上节完全相同，只是采用 PuLP 提供的快捷建模的编程方案，优化结果也与 PuLP 标准方法完全相同，但本例使用了结构化的输出显示，使输出结果更为直观。

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