C++的最短路径的弗洛伊德算法案例讲解

编辑: admin 分类: c#语言 发布时间: 2022-03-15 来源:互联网

现在我们有这么一张图:

我们要做的是求出从某一点到达任意一点的最短距离,我们先用邻接矩阵来建图,map[i][j]表示从i点到j点的距离,把自己到自己设为0,把自己到不了的边初始化为无穷大,代码为:

//初始化
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=n; j++)
            if(i==j)
                map[i][j]=0;
            else
                map[i][j]=inf;
    //读入边
    for(int i=1; i<=m; i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&t1,&t2,&t3);
        map[t1][t2]=t3;
    }

最后,建好的图可以用表格来表示:

现在,我们来思考,假设我们来找一个中转的点,看他们的路程会不会改变,我们先以1号顶点作为中转点最为例子,制图:

我们发现,图有了变化,我们怎么判断以1号顶点作为中转点图的路程是不是更短呢,我们只需要判断map[i][1]+map[1][j]的路程是不是比map[i][j]的路程更短,就可以判断,

代码为:

for(int i=1; i<=n; i++)
    for(int j=1; j<=n; j++)
        if(map[i][1]+map[1][j]<map[i][j])
            map[i][j]=map[i][1]+map[1][j];

现在该怎么办呢,我们接着以2号顶点作为中转点,很简单代码修改一句就就可以:

for(int i=1; i<=n; i++)
    for(int j=1; j<=n; j++)
        if(map[i][2]+map[2][j]<map[i][j])
            map[i][j]=map[i][2]+map[2][j];

现在我们是不是发现了一个规律,只要不断的遍历每一个点,并且以每一个点作为中转点看看它的值会不会改变,就可以得到从一个点到任意一个点的最短路径,也就是多源最短路,这就是弗洛伊德算法,代码为:

for(int k=1; k<=n; k++)
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=n; j++)
            if(map[i][k]+map[k][j]<map[i][j])
                map[i][j]=map[i][k]+map[k][j];

这样就可以遍历每个顶点,找出所有的最短路,算法的复杂度为O(n^3).

对于我一开始提出的问题,完整的代码为:

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <string>
#include <iostream>
#include <stack>
#include <queue>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
const int inf=1<<29;
int main()
{
    int map[10][10],n,m,t1,t2,t3;
    scanf("%d%d",&n,&m);//n表示顶点个数,m表示边的条数
    //初始化
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=n; j++)
            if(i==j)
                map[i][j]=0;
            else
                map[i][j]=inf;
    //读入边
    for(int i=1; i<=m; i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&t1,&t2,&t3);
        map[t1][t2]=t3;
    }
    //弗洛伊德(Floyd)核心语句
    for(int k=1; k<=n; k++)
        for(int i=1; i<=n; i++)
            for(int j=1; j<=n; j++)
                if(map[i][k]+map[k][j]<map[i][j])
                    map[i][j]=map[i][k]+map[k][j];
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        for(int j=1; j<=n; j++)
            printf("%10d",map[i][j]);
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

给出样例:

输入:

4 8
1 2 2
1 3 6
1 4 4
2 3 3
3 1 7
3 4 1
4 1 5
4 3 12

输出:

         0         2         5         4
         9         0         3         4
         6         8         0         1
         5         7        10         0

输出的就是我建图的时候用的表格,可以表示任意一点到任意一点的最短距离。
如果有什么不对的地方,欢迎指正~~

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